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方差分析，又稱變異數(shù)分析。常用于多個(gè)樣本均數(shù)比較的假設(shè)檢驗(yàn)。

方差分析的基本思想是：把全部觀察值間的總變異按設(shè)計(jì)類型的不同，分解成兩個(gè)或多個(gè)組成部分，然后將各部分的變異與隨機(jī)誤差進(jìn)行比較，以判斷各部分的變異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

現(xiàn)以完全隨機(jī)設(shè)計(jì)為例來介紹方差分析的基本思想。

1.總變異：總變異反映所有觀察值的變異，其大小用均方MS總來反映。MS總為觀察值X與總均值離均差平方和SS總與相應(yīng)的自由度υ總之比，計(jì)算公式為：

SS總＝∑（X-）2＝∑X2－C，υ總＝N－1

MS總＝SS總/υ總

式中：C＝（∑X）2/N，N代表總樣本含量。

完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析將總變異分解為組間變異和組內(nèi)變異兩部分。

2.組間變異：不同處理組樣本均數(shù)之間的差異稱為組間變異。組間變異可以采用組間均方MS組間來反映，MS組間為組間離均差平方和SS組間與相應(yīng)自由度υ組間之比，計(jì)算公式為：

式中：k表示不同的處理組；ni代表第i組的樣本含量。

3.組內(nèi)變異：處理組內(nèi)每個(gè)觀察值之間的差異稱為組內(nèi)變異，引起組內(nèi)變異的原因是個(gè)體變異和測(cè)量誤差。組內(nèi)變異采用組內(nèi)均方MS組內(nèi)來反映，MS組內(nèi)為組內(nèi)的離均差平方和SS組內(nèi)與相應(yīng)的自由度υ組內(nèi)之比，計(jì)算公式為：

SS組內(nèi)＝∑（X—）2或SS組內(nèi)＝SS總－SS組間，υ組內(nèi)＝N－k

MS組內(nèi)＝SS組內(nèi)/υ組內(nèi)

可以證明：

SS總＝SS組間＋SS組內(nèi)

υ總＝υ組間＋υ組內(nèi)

方差分析的無效假設(shè)H0為：μ1＝μ2＝…＝μk，即所有總體均數(shù)相等，相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F為：

F＝MS組間/MS組內(nèi)

若無效假設(shè)成立，即處理效應(yīng)相同，則組間變異應(yīng)與組內(nèi)變異一樣均只反映隨機(jī)誤差的大小，F(xiàn)值接近于1.相反，若根據(jù)樣本算得F的值過大，則拒絕無效假設(shè)。